Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 05-24-2006

さて、スパゲティー物語、涙の完結編。

どういう物語かというと・・・スパゲティーの端っこを適当に選んで結んだら、輪っかが何個できるか?という問題。

これまでの経緯:
スパゲティーの問題 1
スパゲティーの問題・問い
スパゲティーの問題 2

まず、スパゲティー 10本から出来る輪の数を棒グラフにしてみると・・・
横軸が輪の数で縦軸が確率。ま、出来る輪の数はだいたい 1個から 3個。4個以上出来たらちょっとラッキー。

続いて、スパゲティー 100本。5個以下といったあたり。Y軸が上のグラフとは違うことに注意。

さて、次にスパゲティーを一気に 10,000本、1,000,000本にしてみよう。一万本と百万本。輪の数はどれだけ増えるか?これが一万本で、こっちが百万本。

あまり増えない。スパゲティー百万本から始めても出来る輪の数はだいたい一桁ってことだ。

百万本から始めると、最初に選ばれた 2つの端で輪が出来る確率は 1/1,999,999。ま、ほぼゼロ。何万本もあるとなかなか輪ができない。だから百万本から始めても一万本から始めても大して違いはない。

輪の数の平均を求めてみる。期待値。話がそれるけど、僕は職業上「平均」というものが嫌い。みんながんばって時間とお金をかけてデータを集めるのに、結局平均ひとつにまとめようとしちゃうんだよね。もったいない。

ま、この問題でも「平均」にどんな意味があるのか判らないけど、スパゲティー k本から始めた場合の輪の数の期待値は簡潔に spa2.png と表される。

スパゲティー 100本の場合は
1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ... と100個の数を足せばよい。

スパゲティーの本数輪の数の期待値
102.13
1003.28
1,0004.44
10,0005.59
100,0006.74
1,000,0007.89

あまり増えない。

という訳で、ここ で出した問いの答は約 10。百万本のスパゲティーから始めて、平均で 8個しか輪が出来ない、というのはちょっと想像できない。かなりびっくり。いろんな人にこの問題だしてみたけど、センスのある人でも「数百個」と答えた。まだ 100以下と予測した人はいない。

ちなみに輪の数の分散は と表される。

さらにちなみに、輪の数の期待値を求めろ、という問題はどうやら何年か前にスタンフォード大学の EE (Electrical Engineering 電子工学) の博士課程の入試 (Qualifying Exam) に出たらしい。

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