Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 05-24-2006
さて、スパゲティー物語、涙の完結編。
どういう物語かというと・・・スパゲティーの端っこを適当に選んで結んだら、輪っかが何個できるか？という問題。
これまでの経緯：
スパゲティーの問題 1
スパゲティーの問題・問い
スパゲティーの問題 2
まず、スパゲティー 10本から出来る輪の数を棒グラフにしてみると・・・
横軸が輪の数で縦軸が確率。
ま、出来る輪の数はだいたい 1個から 3個。4個以上出来たらちょっとラッキー。
続いて、スパゲティー 100本。
5個以下といったあたり。Ｙ軸が上のグラフとは違うことに注意。
さて、次にスパゲティーを一気に 10,000本、1,000,000本にしてみよう。一万本と百万本。輪の数はどれだけ増えるか？
これが一万本で、
こっちが百万本。
あまり増えない。スパゲティー百万本から始めても出来る輪の数はだいたい一桁ってことだ。
百万本から始めると、最初に選ばれた 2つの端で輪が出来る確率は 1/1,999,999。ま、ほぼゼロ。何万本もあるとなかなか輪ができない。だから百万本から始めても一万本から始めても大して違いはない。
輪の数の平均を求めてみる。期待値。話がそれるけど、僕は職業上「平均」というものが嫌い。みんながんばって時間とお金をかけてデータを集めるのに、結局平均ひとつにまとめようとしちゃうんだよね。もったいない。
ま、この問題でも「平均」にどんな意味があるのか判らないけど、スパゲティー k本から始めた場合の輪の数の期待値は簡潔に 
と表される。
スパゲティー 100本の場合は
1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ... と100個の数を足せばよい。
| スパゲティーの本数 | 輪の数の期待値 |
| 10 | 2.13 |
| 100 | 3.28 |
| 1,000 | 4.44 |
| 10,000 | 5.59 |
| 100,000 | 6.74 |
| 1,000,000 | 7.89 |
あまり増えない。
という訳で、ここ で出した問いの答は約 10。百万本のスパゲティーから始めて、平均で 8個しか輪が出来ない、というのはちょっと想像できない。かなりびっくり。いろんな人にこの問題だしてみたけど、センスのある人でも「数百個」と答えた。まだ 100以下と予測した人はいない。
ちなみに輪の数の分散は 
と表される。
さらにちなみに、輪の数の期待値を求めろ、という問題はどうやら何年か前にスタンフォード大学の EE (Electrical Engineering 電子工学） の博士課程の入試 (Qualifying Exam) に出たらしい。