Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 07-25-2008

天井からフラフープがぶら下がっている,とする.そのフラフープをランダムに日本刀で二回切る.すると,フラフープの一部が床に落ちる.

実はそのフラフープは黄金で,床に落ちた分があなたの取り分で,天井からぶら下がっているのが僕の取り分.

取り分の大きい方が勝ち.

☆★☆★☆★☆★☆

切る場所がランダムに決められるので,公平なゲームなような気がする.どちらが勝つ確率も 50% のような気がする.

でも違う.僕の方が有利.

天井からぶら下がっているのを切ると危ないので,床に置いて切ることにする.ゲームの本質は全く変わらない.日本刀で切る2点と天井とつながる点とあるけれど,切る2点がランダムなので,その2点と天井とつながる点との位置関係も結局ランダム.

という訳で,最初に日本刀で切ってから,天井とつなぐ点をランダムに選んでもいっしょ.

最初に日本刀で2箇所切るので,フラフープは2つに切れる.その後選ぶ天井につなぐ点は長い方になる確率の方が高い.

僕が勝つ確率を計算してみる.時計の文字盤を使って説明すると•••

日本刀で一回切った時に,その切れ目を12時に合わせる.二回目の切れ目が例えば1時のところだと,僕の方がかなり有利.天井とつなぐ点が12時と1時の間に来たときだけ僕が負けるけれど,後は僕の勝ちだ.

二回目の切れ目が6時に近いと,その時点ではほぼ互角の勝負になる.

7時,8時・・・となるとまた僕の方が有利になって行って,11時ではまたほぼ一方的な試合.

という訳で僕が勝つ確率は・・・じゃなくて,負ける確率の方がシンプルだった.僕が負ける確率は・・・

θが日本刀の切れ目が作る角度で 0 からπまで変化する.あなたが勝つ確率は θ/2π.
( 1/π ) は θの(一様分布の)確率密度関数だ.

かなり一方的なゲーム.

このフラフープの価値が3億円だとして,それぞれの取り分の期待値を計算しなさい,というのは 宿題

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