宿題の答

Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 07-28-2008

前回 の続き

あなたが勝つ確率が$1/4$というところまで判った．宿題は，それぞれの取り分の期待値を求めなさい，だ．

勝つ確率の時と同じように，まず二つの切れ目によって出来る角度の$\theta$が与えられているとして考える．

あなたの取り分は，天井と結ぶ糸の無い方．$\theta$は$0$から$\pi$の間の数を取るから，ま，ピザの 一切れを想像すればいいかな．その一切れの全体に対する割合は$\theta /2\pi$．そっちがあなたの取り分である確率は天井と結ぶ糸が残りの大きい方に行った時だから，確率は$1-\theta /2\pi$．

逆にあなたの取り分が半分より大きい場合は，取り分は$1-\theta /2\pi$で，その確率は天井と結ぶ糸が小さい方に行く確率だから，$\theta /2\pi$．

$\theta$が与えられた時の，あなたの取り分の期待値は，あなたの取り分の重み付き平均．$(\theta /2\pi )\times (1-\theta /2\pi )\; +\; (1-\theta /2\pi )\times (\theta /2\pi )\; =\; \theta /\pi \; -\; \theta 2/2\pi 2$．

これは条件付き (conditional) 期待値だから，条件を外すには，$\theta$の（一様分布の）確率密度関数を使って積分すればよい．

と言う訳で答えは で，1/3 となる．フラフープ全体の価値が３億円だとすると，あなたの取り分の期待値は１億円．

☆★☆★

ま，これはこれでいい．

でも，取り分の期待値というのは，要するに平均だ．大した情報ではない．本当に求めなくてはいけないのは，取り分の確率密度関数 (pdf) とか累積密度関数 (cdf) だ．それは次．本当は最初に pdf とか cdf とか求めておけば，勝つ確率も取り分の期待値もすぐに計算出来るんだけどね．順序が逆だった．

そんな訳で，続き．