ベンフォードの法則

Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 02-13-2009

最新の The American Statistician を読んでいたら 「ベンフォードの法則の簡単な説明」 (Fewster RM, "A simple explanation of Benford's Law" 2009)，という論文が載っていた．面白かった．

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ベンフォードの法則 とは・・・

「自然に発生したデータでは，一番上の位は1であることが多い」 というちょっと信じ難い法則．
本当は1から9のそれぞれの数字が現れる割合についてちゃんと言及している．シンプルなバージョンだと，一番上の位が x である割合は $log(1+1/x,\; base=10）$．一番上の位の数字になれるのは1から9までなんだけど，みんな 1/9 ずつ起こるのではなくて，1であることがだいたい 30%で，2であることがだいたい 18%で，3が 13%．だんだん減っていって，最初の数字が９である確率は 5%未満となる．

いろんなデータに応用できる法則で，人口だとか，川の長さだとか，株価だとか，たくさんデータを集めてみると，その約 30% は一番上の位が1なんだそうだ．

この法則は19世紀末に発見されていたけれど，ちゃんとした数学的な証明が発表されたのは1995年だ．証明はすごく難しいらしい．ややわかり易い説明も検索すればみつかる．

わかり易く書いてある説明を読んでとりあえずは納得している．でもやっぱりいまいち信じ難い．

と言うわけで，確認してみた．

データは日本の市町村の人口．総務省：統計局のページからダウンロードできる．市町村名と数字だけの2行だけにしたデータは ここ．

データを読み込んで，きれいにして，一番上の位を調べる，というのは R でやった．
ちなみに，一番上の位の数字を取り出すには floor( x / 10^floor(log(x,10)) ) とかで出来る．

1,805の市町村の人口の一番上の位をあらわしたのが下のグラフ．（大きいバージョン）
青いラインは，ベンフォードの法則から予測される数．これによると，1と2で始まる人口がもう少し多いはずだけど，大まかに見てほぼ法則通りだ．確かに全体の3割ほどの市町村の人口は1で始まっている．

ほかのデータでも確かめてみた．