Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-23-2010
ドジョーズ相手に開幕２連勝で始まった今年のパイレーツ，７勝５敗と，夢の貯金２を達成した．そこでホームにブルーワーズを迎えた３連戦．
終わってみると，３試合合計で１得点３６失点．昨日は０－２０での敗戦．
○○○
パイレーツのベンチ入り２５人の合計年棒はメジャーリーグ最小の約３５００万ドル．
トップはヤンキースの約２億ドル．レッドソックスの１．６億ドル，カブスの１．５億ドルと続く．
アレックス・ロドリゲスの年棒が３３００万ドルだから，一人でパイレーツ２５人分とほぼ同じ．
これで同じフィールドで戦えというほうが無理だなぁ．
Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-17-2010
慶悟の方がよく食べる．なぜかフォークはいつも端を持つ．
Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-16-2010
このあいだ，てらてらとオフィスで仕事をしていたら，バイオスタットグループの秘書さんに「鍵なくした？」と訊かれた．「無くしてないけど，何か？」と訊いたら，「誰のか判らない鍵があって，よく鍵を無くすって聞いたもんだからとりあえず確認にきた」とのことだった．
ま，事実だからしょうがないんだけど，軽く悲しい．
Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-15-2010
先日 「ナッシュビルブログ」で検索すると小山さんのが一番上に来るんだよねぇ，とお叱りをうけた．グーグルのページを並べる計算式がわかれば，上に来ないように努力するところだけど，グーグル計算式はなぞにつつまれている．
検索と順番付けは ハトがしている というのはどうやら冗談だったらしいし．
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「ヴァンダービルトとかいう大学のあるナッシュビルとかいうところに行くことになりそうなんだけど」という人へ．
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ヴァンダービルト大学は研究留学先としてはかなり良いところです．たぶん．あまり相対的な評価はできないけれど．
困ったことがあったら，親身になって助けてくれる日本人のかたがたくさんいます．
とある送別会に，大人５６人子供２８人集まってしまう結束の強い仲間です．
ヴァンディーに研究留学で来る人は，とりあえずスパイクを持ってきてください．
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Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-09-2010
おまけの問題のシンプルな発展で，ハズレがあることにする．
当たりだったら６種類のおまけが同じ割合で入っているのだけど，ハズレもある．
ちょこちょこと細かいところで変わるけれど，大筋では大した違いはない．
当たりの確率を q とすると，k 個買って x 種類の確率は
と書ける．前の２項は q がくっついただけで他は全く変わっていない．３項目は，ハズレだったらおまけの種類は増えないので，その時の確率．
これを計算する上では，p(0,0)=1 とする．他にも買った数がおまけの数より少ないケースとか，おまけが -1個のケースとかは確率は全て0 にして計算する．
q=1 の場合はハズレなしなので，シンプルなケースに戻る．
Rでプログラムを書いて解く．
coupon.collectors <- function(m,q=1,tol=1e-5){
# m is the number of coupon types
# 1-q = P[ no coupons inside ]
out <- numeric(m+1) ; out[1] <- 1-q ; out[2] <- q
out <- t(matrix(out))
finish <- F ; i <- 2 ; tol <- max(tol, 1e-5)
while(!finish){
qr <- q * (1-(0:m)/m)
out <- rbind( out, out[(i-1),] * (1- qr) + c(0, out[(i-1),] * qr)[1:(m+1)])
finish <- out[i,m+1] > 1-tol ; i <- i + 1
}
out <- data.frame(round(out,abs(log(tol,10))-1)) ; names(out) <- 0:m
out
}
○○○
僕はスパゲッティの問題のときと同じように帰納的に解く方法を書いたのだけど，そうじゃなくて直接的に求める方法もある．いろいろインターネットをふらふらしていたら，そっちの解き方は Weblog on mebius.tokaichiba.jp に判りやすく書いてあったので，ま，いいかということになった．
○○○
おまけの問題：前置き
おまけの問題：問題
おまけの問題：答１
おまけの問題：答２
おまけの問題：答３
おまけの問題：発展問題
Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-07-2010
引き続き coupon collector's problem．
問３：全部そろっている確率を 90%以上にするには幾つ買えばいいですか？
○○
平均で云々とかよりも，本当に求めたいのはたぶんこの確率だ．
解き方は問２といっしょ．「○個までにそろっている確率」が判れば解ける．
拡大○○
おまけが 6種類の時 23個買えば 90%の確率で全種類そろっている．この先は確率がゆっくりしか上がらないので，95%にしたかったら 27個買わなくてはいけないし，99%にしたかったら 36個も買わなくてはいけない．
おまけの問題：前置き
おまけの問題：問題
おまけの問題：答１
おまけの問題：答２
おまけの問題：答３
おまけの問題：発展問題
Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-06-2010
引き続き coupon collector's problem．
問２：１５個買ったら，どれくらいの確率で全部そろうか．
１５個というのは，６種類全部そろえるために買わなくてはいけない数の平均 (14.7) に一番近い数，ということ．
１５個買って，６種類全部そろっている確率．いろんな求め方がありそうだ．
ほんとにいろいろあって，ここで書くより簡単でもっとすっきりしているのもあるけれどね．個人的な好みかな．スパゲティの問題 のときと似た考え方だ．
答２：６種類全部そろっている確率だけでなくて，一般的に「m 種類のおまけがある時，k 個買ったら x 種類そろった」という答をめざそう．例えば「６個買った時にちょうど４種類ある」ためには５個買った時点でちょうど３種類あるか，４種類あるかでないといけない．５個買った時点で２種類だったり，５種類だったりしたら，どうがんばっても６個で４種類にはなり得ない．
６個買った時に４種類ある確率は
（５個買った時に３種類ある確率）×（６個目が新しい種類）と
（５個買った時に４種類ある確率）×（６個目が新しくない確率）の和だ．
だから，一歩戻って５個買った時の確率が判らないと６個買った時の確率はわからない．それで，５個買った時の確率は，４個買った時の確率が判らないと判らない．そうやって，さかのぼって行かなくてはいけないので，結局１個買った時に１種類ある確率 (100%) から始めて順番に解いていく．
k 個買った時に x 種類そろっている確率を pk,x とする．おまけが m 種類あるとすると，
と書ける．p1,1 = 1 だ．x が 0 だったり，x が k より大きかった場合は全て 0 として計算する．
p の前についているのは，k 個目が新しい確率と，k 個目が新しくない確率．
これで，いろいろ計算出来るのだけど，手計算しようとするとかなりめんどうくさい．１５個買ったらうんぬん，という確率を求める場合でも，１個目，２個目，３個目．．．と順に計算しなくてはいけない．
１５個買って６種類全部そろっている確率だから「６個目でそろう」から「１５個目でそろう」までの確率を全部足せば１５個目までにそろう確率がわかる．
拡大
１５個目までに全部そろっている確率は 64%．全種類そろえるには，平均で約１５個買えばいいのだけど，１５個買って全部そろっている確率は 50%をかなり超えている．前ページのグラフが右にぐでぇと延びているから起こる現象．左右対称だったら，確率は 50%付近になる．
全部そろっている確率を 50%以上にしたいなぁ，と思ったら１３個でよい．確率は 51%．
問３に続く．
おまけの問題：前置き
おまけの問題：問題
おまけの問題：答１
おまけの問題：答２
おまけの問題：答３
おまけの問題：発展問題
Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-01-2010
問１：「一個ずつ買って，その場で開けて」という作戦でそろうまで買い続けると，平均で何個買うことになりますか？
答１：
1種類手に入れるには 1個買えば良い．
次に買うのが新たな種類，つまり 1個目と同じでない確率は 5/6．確率が 5/6 であることが起こるまでの試行の平均回数は（話すと長いんだけど）6/5．
次に買うのが新たな種類，つまり 1個目と 2個目と同じでない確率は 4/6．確率が 4/6 であることが起こるまでの試行の平均回数は（話すと長いんだけど）6/4．次に買うのが新たな種類，つまり 1個目と 2個目と 3個目と同じでない確率は 3/6．確率が 3/6 であることが起こるまでの試行の平均回数は（話すと長いんだけど）6/3．
そんな訳で 6種類そろえるために買う数の平均（期待値）は
1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 14.7．
シンプルに求められるところが面白いけれど，この平均にはどんな意味があるのか．
何個買えば 6種類そろうか，というのをグラフにしてみるとわかるのだけど，右側にぐでーと延びている．こういう左右対称でないことがらの平均というのは，うさんくさいことが多い．
拡大
上のグラフは x回目で 6種類そろう，というのを表している．一番確率が高いのは 11回目で終わる．8.4% だ．（平均に一番近い）15回目で終わる確率は 6.1%．ぐでーと右側に延びているせいで平均値が右に引っ張られてしまっている．
平均で約１５個買えばいいですよ．でも１５個目でぴったり終わる確率というのは，6%でしかない．しかも，１５個目で終わる，というのが一番確率が高い訳でもない．上のグラフから判るように，９～１４個目で終わる確率のほうが高い．
何個目で６種類そろいますか？と訊かれて，答をひとつあげろと言われたら１１個目と答えるのが最善だろう．一番確率が高い．
おまけの問題：前置き
おまけの問題：問題
おまけの問題：答１
おまけの問題：答２
おまけの問題：答３
おまけの問題：発展問題