スパゲティーの問題 3

Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 05-24-2006

さて、スパゲティー物語、涙の完結編。

どういう物語かというと・・・スパゲティーの端っこを適当に選んで結んだら、輪っかが何個できるか？という問題。

これまでの経緯：
スパゲティーの問題 1
スパゲティーの問題・問い
スパゲティーの問題 2

まず、スパゲティー 10本から出来る輪の数を棒グラフにしてみると・・・
横軸が輪の数で縦軸が確率。ま、出来る輪の数はだいたい 1個から 3個。4個以上出来たらちょっとラッキー。

続いて、スパゲティー 100本。5個以下といったあたり。Ｙ軸が上のグラフとは違うことに注意。

さて、次にスパゲティーを一気に 10,000本、1,000,000本にしてみよう。一万本と百万本。輪の数はどれだけ増えるか？これが一万本で、こっちが百万本。

あまり増えない。スパゲティー百万本から始めても出来る輪の数はだいたい一桁ってことだ。

百万本から始めると、最初に選ばれた 2つの端で輪が出来る確率は 1/1,999,999。ま、ほぼゼロ。何万本もあるとなかなか輪ができない。だから百万本から始めても一万本から始めても大して違いはない。

輪の数の平均を求めてみる。期待値。話がそれるけど、僕は職業上「平均」というものが嫌い。みんながんばって時間とお金をかけてデータを集めるのに、結局平均ひとつにまとめようとしちゃうんだよね。もったいない。

ま、この問題でも「平均」にどんな意味があるのか判らないけど、スパゲティー k本から始めた場合の輪の数の期待値は簡潔に と表される。

スパゲティー 100本の場合は
1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ... と100個の数を足せばよい。

あまり増えない。

という訳で、ここ で出した問いの答は約 10。百万本のスパゲティーから始めて、平均で 8個しか輪が出来ない、というのはちょっと想像できない。かなりびっくり。いろんな人にこの問題だしてみたけど、センスのある人でも「数百個」と答えた。まだ 100以下と予測した人はいない。

ちなみに輪の数の分散は と表される。

さらにちなみに、輪の数の期待値を求めろ、という問題はどうやら何年か前にスタンフォード大学の EE (Electrical Engineering 電子工学） の博士課程の入試 (Qualifying Exam) に出たらしい。

この問題に関して、興味を示すかどうか。

この答え次第によっては友情にヒビがはいる・・・
かもしれない。

ので、結論としては「考えるのもやだ」ということで。

でもそれじゃつまらないから、
本音を言うと、結構面白く読みましたが、それより気になったのは、ゆであがった直後のスパゲティーを結ぶと結構熱いし、さめちゃうとぶにょにょーんとなって、
くっついちゃって、結べないね、なんて現実的なことでした。

こういうのに興味があるかないかの両極端の僕とまりが仲良くやっているのでだいじょうぶだと思います。

ところで僕がずっと気になっているのは・・・

質問：スパゲティー 100万本ってどれくらい？何人前？

De Cheeco（というスペルだったかな）というイタリアのスパゲッティがあります。私が好きなブランドです。これのNo12がスバゲッティーという名前でNo11がスパゲッティーニ。11のほうが細くて茹で時間も短いです。11が好きで、これしか家になかったので、こちらを測りました。10本で約10g。20本で2約0g、30本で約30gと、かなり正確でした。日本だと一人前80gくらいだと思うのですが、アメリカではきっと120gくらいはあるんじゃないかなー。ということは、一人前120本。100万本だと1000キロ、つまり１トン、約8333人前。でもスパゲッティー（No12）だと11よりちょっと太いので、計算が変わってきますが。
これでよいでしょうか。

8333人前ですか。スパゲティ 1トンっていうのもすごいですね。ゾウなみだ。
うちは細いスパゲティーが好きです、ちなみに。あれ？でもエンジェルヘアーもスパゲティーと呼んでいいんでしょうか？

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