Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 01-19-2009

が出る確率もが出る確率も 50% のコインを投げる.

問1:と出すには平均で何回投げなくてはいけませんか?

問1の答

と出すにはとりあえずを出さなくてはいけない.が出る確率は 1/2 なので,が出るまでにコインを平均で2回投げなくてはいけない.そして,次はを出さなくてはいけない.が出る確率は 1/2 なので,が出るまでにコインを平均で2回なげなくてはいけない.

つまり,と出すには平均で4回かかる.

-- -- -- --

問2:と出すには平均で何回投げなくてはいけませんか?

問2の答

問1より少し難しい.問1のように1投ずつ分けて考えることはできない.が出た後にが出てしまうと,振り出しにもどってしまうからだ.

とりあえず求めたい期待値(平均値)を W とおく.場合分けをして考える.

最初の1投がだった場合:
1回投げたけれど,全く前進していない.無駄に1回投げただけだ.だからこの場合の期待値は W + 1.

最初の2投がだった場合:
2回投げたけれど,全く前進していない.無駄に2回投げただけだ.だからこの場合の期待値は W + 2.

最初の2投がだった場合:
終了!この場合の期待値は 2.

この3通りのシナリオは,それぞれ 50%, 25%, 25% の確率で起こる.期待値はそれぞれのシナリオでの期待値の重み付き平均なので
W = 0.5( W + 1 ) + 0.25( W + 2 ) + 0.25( 2 ) と書ける.これを W について解くと W = 6 が求まる.という訳で答は6.

-- -- -- --

同じ考え方で,表表表表表裏表裏表表裏裏 が出るまでの期待値も求められる(と思う).

-- -- -- --

表裏まで平均で4回.表表までは平均で6回.よい?

コインを2回投げた場合,表裏となる確率も表表となる確率もそれぞれ 25%.でも「平均で何回投げるか」というのは別の問題.

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