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Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 02-13-2009

最新の The American Statistician を読んでいたら 「ベンフォードの法則の簡単な説明」 (Fewster RM, "A simple explanation of Benford's Law" 2009),という論文が載っていた.面白かった.

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ベンフォードの法則 とは・・・

「自然に発生したデータでは,一番上の位は1であることが多い」 というちょっと信じ難い法則.
本当は1から9のそれぞれの数字が現れる割合についてちゃんと言及している.シンプルなバージョンだと,一番上の位が x である割合は log(1+1/x, base=10)一番上の位の数字になれるのは1から9までなんだけど,みんな 1/9 ずつ起こるのではなくて,1であることがだいたい 30%で,2であることがだいたい 18%で,3が 13%.だんだん減っていって,最初の数字が9である確率は 5%未満となる.

いろんなデータに応用できる法則で,人口だとか,川の長さだとか,株価だとか,たくさんデータを集めてみると,その約 30% は一番上の位が1なんだそうだ.

この法則は19世紀末に発見されていたけれど,ちゃんとした数学的な証明が発表されたのは1995年だ.証明はすごく難しいらしい.ややわかり易い説明も検索すればみつかる.

わかり易く書いてある説明を読んでとりあえずは納得している.でもやっぱりいまいち信じ難い.

と言うわけで,確認してみた.

データは日本の市町村の人口.総務省:統計局のページからダウンロードできる.市町村名と数字だけの2行だけにしたデータは ここ

データを読み込んで,きれいにして,一番上の位を調べる,というのは R でやった.
ちなみに,一番上の位の数字を取り出すには floor( x / 10^floor(log(x,10)) ) とかで出来る.

1,805の市町村の人口の一番上の位をあらわしたのが下のグラフ.(大きいバージョン
青いラインは,ベンフォードの法則から予測される数.これによると,1と2で始まる人口がもう少し多いはずだけど,大まかに見てほぼ法則通りだ.確かに全体の3割ほどの市町村の人口は1で始まっている.

一番上の位割合
152529.1%
227215.1%
324713.7%
418410.2%
51669.2%
61267.0%
71086.0%
81015.6%
9764.2%

ほかのデータでも確かめてみた

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