Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 03-05-2009

確率を使って円周率を計算する を書いた.これはかなりの力技だった.一般的に円周率と確率と言えばビュフォンの針だ.ビュフォンについては検索すればいろいろみつかる.

平行線がたくさんひいてある紙の上に針を何度も落とす.針が平行線(の一本)と交わる割合から円周率が求められる.

幅がrの平行線がいっぱい引いてあるとする.そこに長さがrの針を落とす.上の絵で,青い点が針の先が落ちた場所だとする.青い点から見て下にある一番近い平行線からの距離をyとしている.平行線と垂直の縦の線(薄い灰色)と針が作る角度(鋭角)がaより小さい時に,針と下の線が交わる.あるいは,薄い灰色の縦の線と針が作る角度(鋭角)がbより小さいと,針と上の線が交わる.

そういう訳で,青い点が与えられた時に,針と上あるいは下の線が交わる確率は( a+b ) / ππって180°のことね.

サインコサインタンジェントを思い出すとcos( a ) = y / rcos( b ) = ( r-y ) / rと表せることがわかる.めんどくさいからr = 1にしよう.cos( a ) = ycos( b ) = 1-yだ.逆関数を使ってa = cos-1( y )b = cos-1( 1-y )と書ける.

つまり,青い点が与えられれば,針と平行線の一本とが交わる確率は ( a+b ) / π = ( cos-1( y ) + cos-1( 1-y ) ) / πとなる.

「青い点が与えられた」という条件は積分を使って取り外してしまえる.要するにまっさらな状態での 「針と平行線が交わる確率」(pとする)は
となる.

何回も針を落として,針と平行線が交わった割合をpとして,そこからπ = 2/p と計算できる.

実際にやってみた.でも例のごとく,実際にやったのはコンピュータで僕ではない.

Rでやった.

1,000,000回試してみたところ,線と交わったのは636,672回.p = 0.6366722/p = 3.141335.ま,円周率だ.

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