Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-06-2010
引き続き coupon collector's problem．
問２：１５個買ったら，どれくらいの確率で全部そろうか．
１５個というのは，６種類全部そろえるために買わなくてはいけない数の平均 (14.7) に一番近い数，ということ．
１５個買って，６種類全部そろっている確率．いろんな求め方がありそうだ．
ほんとにいろいろあって，ここで書くより簡単でもっとすっきりしているのもあるけれどね．個人的な好みかな．スパゲティの問題 のときと似た考え方だ．
答２：６種類全部そろっている確率だけでなくて，一般的に「m 種類のおまけがある時，k 個買ったら x 種類そろった」という答をめざそう．例えば「６個買った時にちょうど４種類ある」ためには５個買った時点でちょうど３種類あるか，４種類あるかでないといけない．５個買った時点で２種類だったり，５種類だったりしたら，どうがんばっても６個で４種類にはなり得ない．
６個買った時に４種類ある確率は
（５個買った時に３種類ある確率）×（６個目が新しい種類）と
（５個買った時に４種類ある確率）×（６個目が新しくない確率）の和だ．
だから，一歩戻って５個買った時の確率が判らないと６個買った時の確率はわからない．それで，５個買った時の確率は，４個買った時の確率が判らないと判らない．そうやって，さかのぼって行かなくてはいけないので，結局１個買った時に１種類ある確率 (100%) から始めて順番に解いていく．
k 個買った時に x 種類そろっている確率を pk,x とする．おまけが m 種類あるとすると，
と書ける．p1,1 = 1 だ．x が 0 だったり，x が k より大きかった場合は全て 0 として計算する．
p の前についているのは，k 個目が新しい確率と，k 個目が新しくない確率．
これで，いろいろ計算出来るのだけど，手計算しようとするとかなりめんどうくさい．１５個買ったらうんぬん，という確率を求める場合でも，１個目，２個目，３個目．．．と順に計算しなくてはいけない．
１５個買って６種類全部そろっている確率だから「６個目でそろう」から「１５個目でそろう」までの確率を全部足せば１５個目までにそろう確率がわかる．
拡大
１５個目までに全部そろっている確率は 64%．全種類そろえるには，平均で約１５個買えばいいのだけど，１５個買って全部そろっている確率は 50%をかなり超えている．前ページのグラフが右にぐでぇと延びているから起こる現象．左右対称だったら，確率は 50%付近になる．
全部そろっている確率を 50%以上にしたいなぁ，と思ったら１３個でよい．確率は 51%．
問３に続く．
おまけの問題：前置き
おまけの問題：問題
おまけの問題：答１
おまけの問題：答２
おまけの問題：答３
おまけの問題：発展問題