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Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 04-06-2010

引き続き coupon collector's problem.

問2:15個買ったら,どれくらいの確率で全部そろうか.

15個というのは,6種類全部そろえるために買わなくてはいけない数の平均 (14.7) に一番近い数,ということ.

15個買って,6種類全部そろっている確率.いろんな求め方がありそうだ.

ほんとにいろいろあって,ここで書くより簡単でもっとすっきりしているのもあるけれどね.個人的な好みかな.スパゲティの問題 のときと似た考え方だ.

答2:6種類全部そろっている確率だけでなくて,一般的に「m 種類のおまけがある時,k 個買ったら x 種類そろった」という答をめざそう.例えば「6個買った時にちょうど4種類ある」ためには5個買った時点でちょうど3種類あるか,4種類あるかでないといけない.5個買った時点で2種類だったり,5種類だったりしたら,どうがんばっても6個で4種類にはなり得ない.

6個買った時に4種類ある確率は
(5個買った時に3種類ある確率)×(6個目が新しい種類)と
(5個買った時に4種類ある確率)×(6個目が新しくない確率)の和だ.

だから,一歩戻って5個買った時の確率が判らないと6個買った時の確率はわからない.それで,5個買った時の確率は,4個買った時の確率が判らないと判らない.そうやって,さかのぼって行かなくてはいけないので,結局1個買った時に1種類ある確率 (100%) から始めて順番に解いていく.

k 個買った時に x 種類そろっている確率を pk,x とする.おまけが m 種類あるとすると, と書ける.p1,1 = 1 だ.x が 0 だったり,x が k より大きかった場合は全て 0 として計算する.

p の前についているのは,k 個目が新しい確率と,k 個目が新しくない確率.

これで,いろいろ計算出来るのだけど,手計算しようとするとかなりめんどうくさい.15個買ったらうんぬん,という確率を求める場合でも,1個目,2個目,3個目...と順に計算しなくてはいけない.

それを計算した結果が,前のページグラフだ.

15個買って6種類全部そろっている確率だから「6個目でそろう」から「15個目でそろう」までの確率を全部足せば15個目までにそろう確率がわかる.拡大

15個目までに全部そろっている確率は 64%.全種類そろえるには,平均で約15個買えばいいのだけど,15個買って全部そろっている確率は 50%をかなり超えている.前ページのグラフが右にぐでぇと延びているから起こる現象.左右対称だったら,確率は 50%付近になる.

全部そろっている確率を 50%以上にしたいなぁ,と思ったら13個でよい.確率は 51%.

問3に続く.

おまけの問題:前置き
おまけの問題:問題
おまけの問題:答1
おまけの問題:答2
おまけの問題:答3
おまけの問題:発展問題

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